モチベーション

行列を用いた座標変換をおさらいしたい
対角化で行列計算を楽にしたい

線形独立と線形従属

線形独立と線形従属 is 何？

列ベクトルをを用いて以下のようにおいてみる．つまり，．

次に，列ベクトル集合とを用いて，以下のような線形和をつくる．

(1)式を0にできるような，が複数あるなら，は線形従属であると言う．ベクトルをうまく組み合わせれば，一つの輪をつくることができるイメージ．

一方，(1)式を0にするにはが必要である場合，は線形独立であると言う．つまり，ベクトルを組み合わせても輪がつくれないイメージ．

線形独立と線形独立を判別する方法

(1)式=0とおくと，(1)式からという式がm本できる．つまり，n(=m)次の連立方程式となる．

列ベクトル集合を合体させてm x nの正方行列とすると，(2)式のように整理できる．

ここで，正方行列の行列式が0以外なら（＝正則行列であるなら），逆行列を持てるので，が唯一の解になる．つまり，列ベクトルはそれぞれ線形独立であると判断できる．

一方，正方行列の行列式が0なら，逆行列が存在しないので，以外にも解があることになる．つまり，列ベクトルはそれぞれ線形従属であると判断できる．

基底と座標変換

とを以下のようにおいてみる．

これらが線形独立であることは自明だろう．

この線形独立な（基底という）を組み合わせると，あるベクトル空間をつくることができる．今回は $𝟚$ としたので，２次元のベクトル空間ができることになる．

例えば，を用いると，以下のような２次元ベクトルを表現できる．

特に，今回用意したは，それぞれ直交（内積が０）しており，かつ，それぞれの大きさが１なので，正規直交基底と呼ばれる．これは，をx軸の単位ベクトル，をy軸の単位ベクトルとしたデカルト座標系と見立てることができる．

ここで，(3)式のベクトルに，以下の正方行列を左から掛けてみる．

すると，(3)式は，以下になる．

の各列ベクトルで基底を乗っ取ることができた．仮に，とすると，

と整理でき，がに移り，がに移ったことから，行列Aによって(3)式のベクトルが反時計回りに90度回転したと解釈できる．

これは，基底ベクトルを以下のとのようにおいたことと同等である．

この基底によりつくられる２次元ベクトルは，(3)式の方向を軸とし，方向を軸とした座標系上の２次元ベクトルと見立てることができる．

…

反時計回りにの回転といえば以下の式．基底を三角関数で乗っ取っていることになる．

要素だけ取り出したい場合は，以下の行列を使うと良い．軸への正射影を実現していることになる．

固有値問題

固有値の求め方

の正方行列について，固有値問題は i=1,2,…,Mを用いて以下のように定義される．

ここで，は固有ベクトル，は固有値である．上式はM次の単位行列を用いて，以下のように整理することができる．

固有値問題では，自明解以外の解を求めたいというモチベーションなので，が逆行列を持たないようにする必要がある．行列式を0にすれば逆行列を持たないので，以下の固有方程式を解くことで，固有値を求めることができる．

固有ベクトルの求め方

以下を解くことで，各固有値ごとの固有ベクトルを求めることができる．

M次の正方行列Aの固有方程式は，複素数の範囲において必ず，M個の固有値・固有ベクトルを持つ．

固有方程式が重解をもつ場合

行列Aの固有方程式により，固有値 (重解)とが得られる．

固有値の固有ベクトルをとすると，固有ベクトルは以下を満たす必要がある．

ここで，とおくと，なので，固有ベクトルは以下となる．

とは自由に選んでも良いので，固有値 (重解)の固有ベクトルは以下の２つとなる．

実対称行列

対称行列；n次正方行列Aについて，を満たすもの
実対称行列；Aのすべての成分が実数である対称行列

行列Aが実対称行列の場合には，その固有値は必ず実数となり，固有ベクトルも実数の範囲で存在する．

実対称行列の固有ベクトルは，以下のような，正規直交(=正規化済みの異なる固有ベクトル同士の内積が0)を満たす．

正規直交基底

正規直交基底とは，以下の3点を満たす列ベクトル集合のことである．

各ベクトルの長さが1に正規化されている．
互いに直交する．
ベクトルを並べた行列が正則である．

例えば，以下は正規直交基底である．

グラム・シュミットの直交化により，直交していない複数の線形独立なベクトルから，正規直交基底を求めることができる．これにより，例えば，斜行ベクトルを正規直交基底によって表現することができる．

グラム・シュミットの直交化の手続きは，n個の線形独立なベクトルを用いて，

を正規化したものが１つ目の正規直交基底になる．
を計算．
を正規化したものが２つ目の正規直交基底となる．
次数ぶんだけ繰り返して正規直交基底を求めていく．

直交行列による対角化

正規直交基底を並べた行列を直交行列と呼ぶ．

直交行列の行列式は1か-1である
直交行列の転置行列と逆行列はそれぞれ等しい．

実対称行列Aについて固有ベクトルを求め，各固有ベクトルから正規直交基底を求め，正規直交基底を並べた直交行列をPとすると，以下により，対角成分以外が0な対角行列を導くことができる．これを対角化という．

結局，対角行列の対角成分は，実対称行列Aの固有値を並べたものである．

正定値と負定値

行列がすべての非零ベクトルに対して，を満たすとき，は正定値行列と呼ばれ，と表す．

がn次の実対称行列であるとすると，直交行列Pが存在するので，と対角化できる．ここで，で変換すると，に注意して，以下のように整理することができる．これは二次形式の標準化（主軸変換）の例であり，対角化による恩恵である．

これより，実対称行列Aのすべての固有値が正であれば，対角行列の対角成分が正になり，が常に正になるので，行列Aは正定値行列である．

また，行列がすべての非零ベクトルに対して，を満たすとき，は半正定値行列と呼ばれ，と表す．行列のすべての固有値が0以上であれば，行列は半正定値である．

更に，負定値・半不定値も定義することができ，固有値が負か0以下であることがそれぞれの条件である．

対角化と座標変換

つづくかも

対角化の恩恵を授かる